Ecuaciones diferenciales para modelar procesos biológicos.
Una ecuación es una relación entre dos expresiones. Específicamente, es una igualdad donde generalmente hay términos conocidos y términos por conocer. Así pues, una ecuación diferencial no es más que una relación entre dos expresiones en donde se ven involucradas tazas de cambio (o derivadas).
Veamos un ejemplo sencillo de ecuación diferencial. Supongamos que una cierta población de
bacterias crece de forma exponencial, lo que significa que en el inicio de los tiempos tenemos una sola bacteria, que da origen a dos, y esta a su vez a dos más, y así hasta pasado mucho tiempo. Ver Figura 1.
Figura 1. Crecimiento exponencial.
Ahora bien, supongamos también que cada dos segundos muere una bacteria, o lo que es equivalente, cada segundo muere "media". Esto quiere decir, que para un instante de tiempo en segundos el tamaño de la población viene dado por la siguiente función:
Crecimiento
Muerte
Esta, justamente, es una ecuación diferencial: la expresión va cambiando según cambia t (depende de una variable, el tiempo en este caso), ¡pero la relación se mantiene! Si quieres saber más sobre este tipo de ecuaciones visita la siguiente página; sin embargo, lo que acabas de aprender es todo lo que necesitas para continuar.
De procesos biológicos a ecuaciones diferenciales.
Este punto es clave para poder conseguir el modelo, así que pon mucha atención.
El primer paso para pasar de un sistema complejo a un número de ecuaciones que lo modelen, es dividir lo primero en procesos más simples, y definir qué cosas suceden y en qué orden. A la hora de trabajar con procesos biológicos, lo ideal sería hacer esta descomposición en reacciones químicas que estén bien caracterizadas.
Veamos cómo se modelaría el proceso de arriba. Tenemos 4 especies distintas: A, W, B, C, D; y una serie de relaciones distintas entre ellas.
Con solo mirar el diagrama saltan a la vista tres procesos simples dentro de todo el sistema:
-
Producción de A inducida por W
-
Producción de C debido a A+B
-
Producción de D inducida por A
Ahora, también hay procesos que se deben tener en cuenta pero que no son para nada obvios.
Estos procesos son aquellos en donde una proteína se degrada o se produce; es decir:
-
P -> * (Degradación)
-
* -> P (Producción)
Entonces, para nuestro ejemplo tendríamos un total de 12 procesos simples: los 3 que ya
escribimos, 4 de producción para A, W, B, y D (el de C ya lo tenemos), y 5 de degradación para todas las proteínas.
IMPORTANTE
Para hacer el salto definitivo de biología a matemáticas usamos la ley de conservación de la masa:
«En una reacción química ordinaria, la masa permanece constante; es decir, la masa consumida de los reactivos es igual a la masa obtenida de los productos». (Wikipedia)
Lo cual nos da la siguiente ecuación:
Acumulación = Entrada - Salida + Producción - Degradación
En un sistema biológico, la acumulación se refiere a los cambios de concentración de las proteína en el tiempo; la entrada y la salida se relacionan con los procesos membranales de la célula donde se importan y se exportan moléculas; la generación se relaciona con la producción debido a la expresión de un gen o una reacción química, al igual que la degradación.
A continuación algunas expresiones comunes para ciertos procesos químicos y biológicos. Las cajas que se pueden ver fueron realizadas por el equipo de Biología Sintética Uniandes del 2014.
PRODUCCIÓN EZIMÁTICA
Para este punto ya terminamos, reunimos todos los ingredientes de arriba y tenemos las siguientes lindas ecuaciones:
Hemos terminado para esta sección. Una última cosa: recuerda que es importante tener presentes las unidades, siempre deberían ser [Unidades de concentración]/[Unidades de tiempo]. Ahora ya puedes pasar a Resolviendo para aprender a usar simbiosys.
